ANNONCES DE COURS A DOMICILE

Auteur du cours : ENSEIGNEMENT-CAD

   

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TRIGONOMETRIE – (COURS)

 

1/ Unités de mesure d’un angle géométrique

 

DEGRE :  en usage depuis l’époque babylonienne (2000 ans avant J.C.). Cette unité est basée sur un système sexagésimal de numération (base 60).

 

GRADE :  unité héritée de la révolution française. Elle fait référence à la terre et est liée à la définition du mètre (100 km sur l’équateur sont vu depuis le centre de la terre sous un angle de 1 grade). Elle est basée sur le système décimal.

 

RADIAN :  la mesure d’un angle en radian correspond à la longueur d’un arc de cercle de rayon 1 intercepté par cet angle.

 

Comparer 1 radian et 60°.

Périmètre = Diamètre x  ; longueur d’un arc de cercle = Rayon x angle exprimé en radian.

Aire d’un secteur angulaire = Rayon² x angle exprimé en radian / 2.

Remarque : la pulsation, exprimée en radian par seconde, est une vitesse (distance / temps).

 

[Conversion : radians = 200 grades = 180 degrés.]

 

 

2/ Angle aigu dans un triangle rectangle

 

Définition du cosinus, du sinus et de la tangente comme rapport de deux longueurs.

La relation de Pythagore appliquée dans un triangle d’hypoténuse 1 donne : .

 

Exercice : Construire un triangle rectangle d’hypoténuse 1 dm dont un angle vaut 30°. Mesurer cos(30°) et sin(30°). Vérifier à l’aide d’une machine.

 

 

3/ Cercle trigonométrique

 

On appelle cercle trigonométrique un cercle orienté de rayon 1.

Soit M(x ;y) un point du cercle trigonométrique.     cos() = x abscisse du point M

                                                                                                   Sin() = y ordonnée du point M.

                                                                                                   Tan() =

 

Angles :

0 rad

/6 rad

30°

/4 rad

45°

/3 rad

60°

/2 rad

90°

Sinus :

0

 

 

 

1

Cosinus :

1

 

 

 

0

Tangente :

0

 

 

 

x

 

Cos (n) = (–1)n

cos((2p+1)/2) = 0

Sin(n) = 0

sin((2p+1)/2) = (–1)p

 

 

Exercice : à l’aide du cercle trigonométrique, retrouver les principales relations trigonométriques…

 

4/ Fonctions trigonométriques circulaires

 

La fonction SINUS est impaire et de période  : sin(–x) = –sin(x) et sin(x+2k) = sin(x).

La fonction COSINUS est paire et de période  : cos(–x) = cos(x) et cos(x+2k) = cos(x).

La fonction TANGENTE est impaire et périodique de période .

 

Les fonctions sinus, cosinus et tangentes ne sont pas linéaires.

Comparer cos(2) et 2cos() ; cos(3/2) et cos() + cos(/2) etc…

 

Cos(x) = sin(x+/2) : la courbe représentant la fonction cosinus est obtenue à partir de la sinusoïde représentant la fonction sinus par une translation de vecteur .

La fonction définie par : est de période .

Exercice : tracer la représentation graphique de la fonction définie par : t  sin(2t).

 

 

5/ Equations trigonométriques

 

On utilise les équivalences fondamentales suivantes (où k est un entier relatif) :

cos(x) = cos(a) ó x = a + 2k  ou  x = –a + 2k

sin(x) = sin(a) ó x = a + 2k  ou  x =  – a + 2k

tan(x) = tan(a) ó x = a + k

 

 

6/ Fonctions circulaires réciproques

 

 

Arctan : R           ]–/2 ; /2[.                 La fonction Arctan est impaire.

 

Arctan(0) =             ; Arctan(1) =           ; Artan(–1) =

 

Arctan(x) =               ; Arctan(x) =

 

 .        Exercice : Etudier les variations de la fonction g définie par g(x) = 3Arctan(x/2).

 

 

Arcsin : [–1 ; 1]          [–/2 ; /2].          La fonction Arcsin est impaire.

 

SinoArcsin = Id[–1 ; 1]              Arcsin’(x) =

 

La fonction Arcsinosin est définie sur R. Elle est impaire et périodique de période 2.

Pour tout x de l’intervalle [–/2 ; /2], on a : Arcsinosin(x) = x.

Vérifier que pour tout x de R, on a : Arcsinosin(x+) = –Arcsinosin(x).

En déduire la représentation graphique de la fonction Arcsinosin sur [–2 ;2].

 

 

 

Arccos : [–1 ; 1]            [0 ; ].                 La fonction Arccos n’est pas paire !

                                                                  CosoArccos = Id[–1 ; 1]                  Arccos’(x) =

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