ANNONCES DE COURS A DOMICILE

Auteur du cours : ENSEIGNEMENT-CAD

   

Vous aussi, publiez vos cours et excercices : devenez auteur en ligne

PROBABILITES

PROBABILITES CONDITIONNELLES / EVENEMENTS INDEPENDANTS

 

 

I/ Introduction - Vocabulaire

 

Une expérience aléatoire est une expérience reproductible dans les mêmes conditions, conduisant à des éventualités bien définies à l’avance mais dont l’apparition est soumise au hasard. Une éventualité est donc un résultat possible d’une expérience aléatoire. L’ensemble des éventualités s’appelle l’univers des possibles ; il est couramment noté . Un événement est une partie de l’univers. La probabilité d’un événement est le nombre qui mesure les chances que cet événement a de se produire.

 

Exemple 1 : On lance un dé cubique bien équilibré …

Quels sont les résultats possibles de cette expérience aléatoire ? Expliciter l’univers.

On considère les événements suivants :     A : « Obtenir un chiffre inférieur ou égal à 4 »,

                                                                  I  :  « Obtenir un chiffre impair ».

 

Quelle probabilité peut-on attribuer aux événements A et I ?

L’événement : « Obtenir la face 9 » est un événement impossible, sa probabilité est nulle ; l’événement « Obtenir un chiffre inférieur à 7» est un événement certain, sa probabilité est 1.

Quelles sont les éventualités communes aux événements A et I ?

On note AI l’événement « obtenir un chiffre impair inférieur ou égal à quatre ».

 

Une probabilité est un nombre compris entre 0 et 1.

On dit que deux événements A et B sont incompatibles si leur intersection est vide.

L’événement contraire de l’événement A, noté  est formé des éventualités de l’univers n’appartenant pas à A. (Deux événements contraires sont incompatibles).

 

Exemple 2 : Une urne contient trois billes bleues et deux billes vertes. L’expérience aléatoire consiste à tirer simultanément deux billes de l’urne et à noter leur couleur.

Pour expliciter l’univers, on distinguera les billes bleues b1,b2,b3 et les billes vertes v1 et v2.

 

C : « tirer deux billes de même couleur »            V : « tirer deux billes vertes»

D : « tirer deux billes de couleur différentes»     A : « tirer au moins une bille bleue »

B : « tirer deux billes bleues»

Que peut-on dire des événements C et D, B et V, V et A ?

Vérifier que = DUV.

 

 

II/ Calcul des Probabilites

 

a) Dans le cas où toutes les éventualités ont la même chance d’apparaître, on peut écrire que la probabilité d’un événement A est :

 

b) Propriétés : soient A et B deux événements d’un même univers,

P() = 1 – P(A)

P(AUB) = P(A) + P(B) – P(AB)

Si A et B sont incompatibles, alors P(AUB) = P(A) + P(B).

 

Remarque : A = (AB) U (A).

Comme AB et A sont incompatibles, on a : P(A) = P(AB) + P(A).

Exercice 1 : On s’intéresse à deux maladies qu’une plante peut attraper : la maladie A et la maladie B. Dans une pépinière, 30 % des plantes ont la maladie A, 15 % ont la maladie B et 5 % ont les deux maladies. On choisie au hasard une plante dans la pépinière.

On note  MA l’événement : « la plante choisie au hasard est atteinte de la maladie A »,

                                 MB l’événement : « la plante choisie au hasard est atteinte de la maladie B ».

 

Calculer la probabilité qu’une plante choisie au hasard dans la pépinière soit malade.

Que représentent les événements suivants :  ,  ;  ?

Ecrire à l’aide des événements MA et MB l’événement : « la plante choisie au hasard ne possède qu’une seule des deux maladies ».

 

 

Le chapitre suivant va nous permettre de savoir si les deux maladies sont indépendantes, c’est-à-dire si le fait qu’une plante soit atteinte d’une des deux maladies ne la rend pas plus vulnérable au regard de l’autre maladie.

 

 

III/ Probabilité conditionnelle – Evénements indépendants

 

Sur l’univers constitué des employés d’une entreprise, on s’intéresse aux événements H et D.

H : « L’employé est un homme »       D : « L’employé est diplômé ».

 

Première situation :

 

 

Entreprise 1

Homme

Femme

Total

 

 

Diplômé

40

10

 

 

 

Non diplômé

20

30

 

 

 

Total

 

 

 

 

 

 

 

On remarquera que :

P(H) =

P(D) =

P(HD) =

P(HD) P(H) x P(D)

P(H/D) =

 

=

P(D/H) =

 

=

 

 

P(H/D) est la probabilité de H sachant que D est réalisé.

Autrement dit : P(HD) = P(H/D) x P(D); de même : P(HD) = P(D/H) x P(H).

Dans cette première situation, nous constatons que et  : les événements H et D sont dépendants l’un de l’autre.

 

 

Deuxième situation :

 

Entreprise 2

Homme

Femme

Total

 

P(H) =

Diplômé

42

28

 

 

P(D) =

Non diplômé

18

12

 

 

P(H/D) =

Total

 

 

 

 

P(HD) =

 

P(H/D) = P(H) : les événements H et D sont indépendants.

Dans ce cas, on a : P(HD) = P(H) x P(D). On pourra s’assurer que l’on a aussi P(D/H) = P(D).

 

 

On retiendra les définitions suivantes :

 autrement dit : P(AB) = P(A/B) x P(B) = P(B/A) x P(A)

Les événements A et B sont indépendants si : P(AB) = P(A) x P(B)

On rappelle la propriété : P(/B) = 1 – P(A/B)

 

 

Remarque : La notion d’indépendance n’est pas intrinsèque, elle dépend des probabilités ; ce qui n’est pas le cas de la notion d’incompatibilité.

 

Exercice 2 : Les maladies A et B de l’exercice 1 sont-elles indépendantes ?

 

Exercice 3 : A l’aide de l’égalité : A = (AB) U (A), vérifier que si A et B sont deux événements indépendants, alors il en est de même pour A et  (ainsi que pour  et ).

 

Exercice 4 : Une usine fabrique des pièces dont 1,8 % sont défectueuses. Le contrôle des pièces s’effectue selon les probabilités conditionnelles suivantes :

· sachant qu’une pièce est bonne, on l’accepte avec une probabilité de 0,97 ;

· sachant qu’une pièce est mauvaise, on la refuse avec une probabilité de 0,99.

On choisit au hasard une pièce avant son passage au contrôle. Tous les tirages sont supposés équiprobables. On désigne par D l’événement : « la pièce est défectueuse », et par

                        A l’événement : « la pièce est acceptée à l’issue du contrôle ».

a) Quelle est la probabilité qu’une pièce soit défectueuse ?

b) Quelle est la probabilité qu’une pièce ne soit pas défectueuse ?

c) Calculer la probabilité qu’une pièce soit défectueuse et acceptée, puis la probabilité qu’une pièce soit bonne et refusée.

d) En déduire la probabilité qu’il y ait une erreur dans le contrôle.

 

Exercice 5 : On donne deux événements indépendants A et B tels que P(A) = 0,4 et P(AB) = 0,08. Calculer P(AUB).

 

Exercice 6 : Dans une certaine population de 10 000 personnes, il y a 45 % de fumeurs et 35 % de personnes atteintes de bronchite. De plus, 65 % des bronchiteux sont fumeurs. On choisit une personne au hasard parmi les fumeurs ; calculer la probabilité que la personne choisie soit atteinte de bronchite.

 

Exercice 7 : Un quart de la population a été vaccinée contre la grippe. Parmi les vaccinés on compte 1/12 de malades de la grippe. Parmi les malades de la grippe on compte 4 non vaccinés pour 1 vacciné. On cherche à déterminer la probabilité pour un non vacciné de tomber malade ?

a)   Vérifier que P(M/) = 16 P(M) / 15.

b)   En remarquant que M = (MV) U (M), vérifier que P(M) = 1/48 + 3 P(M/) / 4.

c)   Déduire des questions précédentes la probabilité pour qu’un non vacciné tombe malade.

 

Exercice 8 : (attention, cet exercice est un peu difficile…)

Dans une ville, un tiers des habitants appartiennent au parti « de droite » ; parmi eux 80 % sont favorables au curé, 20 % au maire, 90 % sont pour la prohibition de l’alcool, 10 % contre cette prohibition, et leurs opinions à l’égard d’une part, de ces personnalités, d’autre part, de l’alcool sont indépendantes ; dans le parti « de gauche », au contraire, qui groupe les deux tiers des habitants, 70 % sont favorables au maire, 30 % au curé, 20 % sont pour la prohibition de l’alcool, 80 % contre ; et chez eux également il y a indépendance entre ces opinions.

 

Un individu se déclare favorable au maire et ennemi de l’alcool. Vérifier que la probabilité qu’il appartienne au parti « de droite » est d’environ 39 %.

 

Eléments de réponse

 

 

Ex 1 : P(MA U MB) = 0,4. La probabilité pour que la plante soit malade est de 0,4.

           : « la plante choisie n’a aucune des deux maladies ».

           : « la plante choisie n’a ni la maladie A, ni la maladie B » ;

          autrement dit,  = .

           : « la plante choisie a au plus une des deux maladies ».

          « la plante choisie ne possède qu’une seule des deux maladies » : .

 

 

Ex 2 :              P(MA) = 0,3                   P(MB) = 0,15                 P(MAMB) = 0,05.

           P(MAMB)  P(MA) x P(MB), on en déduit que les maladies ne sont pas indépendantes.

 

 

Ex 3 : P(A) = P(AB) + P(A), autrement dit : P(A) = P(A) – P(AB).

Comme les événements A et B sont indépendants, on a : P(A) = P(A) – P(A) x P(B).

P(A) = P(A) x (1 – P(B)) = P(A) x P(). Les événements A et  sont donc indépendants.

En inversant les rôles de A et de B, on démontrerait de même que les événements  et B sont encore indépendants.

P() = P(B) + P(), autrement dit : P() = P() – P(B).

Comme les événements  et B sont indépendants, on a : P() = P() – P() x P(B).

P() = P() x (1 – P(B)) = P() x P(). Les événements  et  sont donc indépendants.

 

 

Ex 4 : a) P(D) = 0,018       b) P() = 0,982

           c) P(DA) = P(AD) = P(A/D) x P(D) = 0,00018.

               P() = P() = P(/) x P() = 0,02946.

           d) P(DA) + P() = 0,02964.

 

 

Ex 5 : Les événements A et B étant indépendants, on a : P(AB) = P(A) x P(B).

            D’où P(B) = 0,2. P(AUB)  = 0,4 + 0,2 – 0,08 = 0,52.

 

 

Ex 6 : On choisie une personne au hasard dans la population.

            On note F l’événement : « la personne choisie fume » et

                        B l’événement : « la personne choisie est atteinte de bronchite ».

D’après l’énoncé, nous savons que : P(F) = 0,45   P(B) = 0,35  et  P(F/B) = 0,65.

La probabilité recherchée est P(B/F) = P(BF) / P(F).

P(BF) = P(F/B) x P(B) = 0,2275 ; on en déduit que P(B/F) = 0,5056.

 

 

Ex 7 :          P(V) = 1/4            P() = 3/4           P(M/V) = 1/12      P(/M) = 4/5.

D’une part, on a : P(M/) = P(M∩) / P() = P(/M) x P(M) / P() = 16 P(M) / 15

D’autre part, P(M) = P(M/V) x P(V) + P(M/) x P() = 1/48 + 3 P(M/) / 4

On en déduit que P(M/) = 1/9.

 

 

Auteur du cours : ENSEIGNEMENT-CAD