ANNONCES DE COURS A DOMICILE

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LES NOMBRES COMPLEXES (Exercices supplémentaires)

 

Exercice 7 : Donner la forme trigonométrique du nombre complexe sin(x) + icos(x).

 

Exercice 8 : En utilisant les formules d’Euler, linéariser (transformer les produits en sommes) les expressions A(x) = cos(x).cos(2x)   et   B(x) = sin(x).cos(2x).

 


Exercice 9 : Montrer que .

 

Exercice 10 : On pose z = x + iy. Vérifier que Re(z²) = x²–y² , Im(z²) = 2xy et que II = x²+y².

En déduire les solutions complexes des équations  z² = –3 – 4i  et  z² = 5 + 12i.

 

Exercice 11 : Résoudre dans le corps des complexes les équations suivantes :

a) x² + x + 1 = 0      b) 2x² – 3x + 3 = 0      c) z² + 2z + 1–i = 0   d) z² – (3+2i)z + 1+3i = 0.

Rq : Lorsque les coefficients des équations ne sont pas réels, les solutions ne sont pas forcément conjuguées.

 

Exercice 12 : Résoudre les équations suivantes :  a) z3 = i    b) z3 = 1.

 

Exercice 13 : a) Résoudre dans le corps des complexes les deux équations  x² –2x –2 = 0  et  z² –2z + 4 = 0.

On note x0 et x1 les solutions de la première équation et z0 et z1 les solutions de la seconde.

b) On désigne par A , B , C et D les points du plan complexe d’affixes respectives x0, x1, z0 et z1. Montrer que le quadrilatère ABCD est un carré dont on précisera le centre.

 

Exercice 14 : Dans le corps des complexes, on considère l’équation (G) d’inconnue z : z² –(+i)z + 1 = 0. Cette équation possède deux solutions complexes.

1/  a) Sans calculer les solutions de (G), donner la valeur de leur produit.

b) Donner une relation entre les arguments des deux solutions de (G).

2/  a) Vérifier que le discriminant de l’équation (G) est égal à (1+i)².

b) Déterminer les solutions z1 et z2 de l’équation (G) . On choisira Im(z1) > 0.

3/ Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct (O,) d’unité graphique 4 cm. On appelle M1, M2 et I les points d’affixes respectives z1 , z2 et i.

a) Montrer que les points M1 et M2 se trouve sur un cercle de centre I. Préciser le rayon de ce cercle.

b) Construire le point M1 puis, en utilisant la question 1, construire le point M2.

 

Exercice 15 : Linéariser sin3(x).cos2(x) puis calculer l’intégrale suivante :

 

Eléments de réponse

Ex 7 : sin(x) + icos(x) = [1 , /2 – x].

Ex 8 : A(x) = (cos(3x)+cos(x))/2 ;  B(x) = (sin(3x)–sin(x))/2.   [ TI92 : tcollect() ]

Ex 9 : arg(3+i) + arg(2+i) = arg(5+5i) = arg(1+i).

Ex 10 : Les solutions de z² = –3 – 4i sont telles que : x²+y² = 5, x²–y² = –3 et xy < 0. D’où : 1 +/– 2i.

Les solutions de z² = 5 + 12i sont : 3 +/– 2i.

Ex 11 : a) (–1 +/– i)/2  b) (3 +/– i)/2  c) –1+/2 + (/2)i et –1–/2 – (/2)i  d) 1+i et 2+i.

Ex 12 : a) [1 ; /6] = (+i)/2 ; [1 ; 5/6] = (–+i)/2 et [1 ; 3/2] = i.

b) [1 ;0] = 1; [1 ; 2/3] = (–1+i)/2 = j et [1 ; 4/3] = (–1–i)/2.

Ex 13 : a) x0 = 1– ;  x1 = 1+ ;  z0 = 1–i et  z1 = 1+i.

b) Un losange qui a au moins un angle droit est un carré.

Ex 14 : 1/ a) Produit des racines = c/a = 1.  b) La somme des arguments = 0.

2/  z1 = (+1)(1+i)/2  et  z2 = (–1)(1–i)/2.

3/ M1 et M2 se trouve sur le cercle de rayon de centre I.

Ex 15 :

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