ANNONCES DE COURS A DOMICILE

Auteur du cours : ENSEIGNEMENT-CAD

   

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LES NOMBRES COMPLEXES (Rappels)

 

Identités remarquables :           a² + 2ab + b² = (a + b)²

                                                a² – 2ab + b² = (a – b)²

                                                A² – B² = (A + B)(A – B)

                                                A² + B² = (A + iB)(A – iB)  avec i² = –1

 

1/ Forme algébrique

z = a + ib  a et b sont deux nombres réels.           a s’appelle la partie réelle du nombre complexe z ;

                                                                        b s’appelle la partie imaginaire du complexe z.

 

Un nombre réel est un nombre complexe dont la partie imaginaire est égale à zéro.

Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s’ils ont la même partie réelle et la même partie imaginaire.

 

Exercice 1 : Soit f la fonction complexe définie par : f(z) = z3 2iz2 (1i)z 2i.

Calculer f(i) ,  f(2i)  puis f(2i).

 

2/ Conjugué d’un nombre complexe

Le conjugué du nombre complexe z = a + ib est le nombre complexe a – ib , noté .

La « quatrième identité remarquable » s’écrit donc : z. = a²+b².

 

Exercice 2 : Déterminer la forme algébrique des nombres complexes zk suivants :

z1 = (1+i)(12i)     z2 = (2+3i)(3i)     z3 = (1i)/(2i)     z4 = (34i)/(7+5i).

 

2/ Représentation géométrique

Le plan est muni du repère orthonormal (O,).

z = a + ib a pour image le point M (ou le vecteur ) du plan de coordonnées (a, b). On dit alors que le nombre complexe z est l’affixe du point M (ou du vecteur ).

 

3/ Forme trigonométrique

Soit M l’image du nombre complexe z = a + ib.

La distance  = OM =  s’appelle le module de z, noté . On a donc : .

Une mesure  de l’angle de vecteurs (,) s’appelle un argument de z.

 

a = cos()  et  b = sin().

z = a + ib = cos() + isin() = ( cos() + isin() ). On note z = [,].

 

Sous forme trigonométrique, si z = [,] alors  = [, –]

 

Exercice 3 : Représenter et écrire sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants :

z1 =  ;  z2 = 3 ;  z3 = 5i ;  z4 =  ;  z5 = 3i ;  z6 = 3+3i ;  z7 =

 

5/ Propriétés des nombres complexes

Soit deux nombres complexes z = [,] et z’ = [’,’].

 

z.z’ = [.’,+’]  ; autrement dit :  = .  et  arg(z.z’) = arg(z) + arg(z’).

Remarque : une généralisation de la multiplication des nombres complexes donne zn = [n, n] ; ce qui permet d’établir la formule de De Moivre : ( cos()+isin() )n = cos(n) + isin(n).

 

1/z = [1/ , –] ; autrement dit :  = 1/  et  arg(1/z) = –arg(z).

Remarque : la relation zn = [n, n]  est donc vérifiée pour tout n entier naturel relatif.

 

z/z’ = [/’, ’] ; autrement dit :  =  /   et arg(z/z’) = arg(z) – arg(z’).

 

Exercice 4 : On considère les nombres complexes z1 = 1 i , z2 = et Z = .

a) Calculer le module et l’argument de z1  , z2  et Z.

b) Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de Z.

c) Déduire des questions précédentes les valeurs exactes de cos(/12) et sin(/12).

 

6/ Notation exponentielle, formules d’Euler

Notation :  ; application : z = [,] = ( cos() + isin() ) = .

Grâce à cette notation, toutes les propriétés des nombres complexes se retrouvent à l’aide des propriétés des exposants…

 

La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire, on a donc , ce qui permet d’établir les formules d’Euler :   et 

 

Exercice 5 : Donner la forme algébrique des nombres complexes zk , puis placer les points Mk d’affixe zk dans un repère orthonormé direct du plan.

z1 =  ;  z2 = 2 ; z3 =  ; z4 =  

 

Exercice 6 : Ecrire les nombres complexes 1 , i , –2 , –i et 1+i  sous forme exponentielle.

 

 

Eléments de réponse des exercices

 

Exercice 1   f(i) = 12i ,  f(2i) = 716i  et f(2i) = 24i

 

Exercice 2     z1 = 3 i     z2 = 9 + 6i    z3 = 1/2 (1/2)i     z4 = 1/74 (43/74)i.

 

Exercice 3  z1 =  ; z2 = [3 , ] ; z3 = [5 , /2] ; z4 =   

z5 = [3 , –/2] ; z6 = [3, 3/4] ;  z7 =  = [1, –/6].

 

Exercice 4   a) z1 = [, –/4] ; z2 = [2 , –/3]  ; Z = [/4 , /12]

b) Z = (/4)cos(/12) + i(/4)sin(/12)

c) Z =

D’après b), on en déduit que : cos(/12) =  et  sin(/12) = .

 

Exercice 5   z1 = ; z2 = ; z3 = ; z4 = 1 i.

 

Exercice 6   1 = e0 ; i =  ;  –2 = 2 ;  –i =  ;  1+i = .

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