ANNONCES DE COURS A DOMICILE

Auteur du cours : ENSEIGNEMENT-CAD

   

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BARYCENTRE

 

Introduction : recherche du point d’équilibre…

 

Si aux points A et B il y a la même masse, le point d’équilibre est au milieu du segment [AB] ;

 

Si la masse posée au point B est deux fois plus lourde qu’en A, le point d’équilibre est deux fois plus près du point B que du point A ;

 

 

Barycentre de deux points pondérés.

Le barycentre G du système de deux points pondérés {(A,) ; (B, )} est définie par la relation vectorielle :

 

Propriétés : Le barycentre G de deux points pondérés {(A,) ; (B, )} appartient à la droite (AB).

Si  et  sont de signes contraires, G est du côté du point qui a le coefficient le plus élevé en valeur absolue ; et si  et  sont de même signe, G appartient au segment [AB].

 

Exercice 1 : A l’aide de la relation de Chasles, vérifier les deux relations vectorielles suivantes :   et    (les coordonnées du barycentres sont des moyennes pondérées).

 

Remarque : le barycentre dépend des masses relatives affectées aux points A et B mais pas des masses elles-mêmes ; autrement dit, le barycentre du système {(A,) ; (B, )} est inchangé si on multiplie les coefficients et  par un même nombre.

 

On peut donc toujours se ramener au cas où la somme des coefficients est égale à 1. En effet, le barycentre du système pondérés {(A,) ; (B, )} est égal au barycentre du système {(A,/(+)) ; (B, /(+))}.

En posant t = /(+), on obtient : /(+) = 1 – t.

 

Exercice 2 : Vérifier que t et 1 – t sont de même signe si et seulement si t appartient à l’intervalle [0 ; 1].

 

Le barycentre G du système pondéré { (A , 1–t) ; (B , t) } avec t appartenant à l’intervalle [0 ; 1] est un point du segment [AB]. Il est défini par la relation vectorielle : .

Réciproquement , tout point du segment [AB] peut-être considéré comme le barycentre des points A et B affectés des coefficients 1–t et t pour une valeur de t comprise ente 0 et 1.

 

Exercice 3 : placer le barycentre des points A et B affectés des coefficients entre parenthèses.

 

 

 

 

 

 


Exercice 4 : déterminer les coefficients affectés aux points A et B .

 

 

 

 

 


Fonction vectorielle de Liebniz

A1, A2, …, An n points d’un espace affine affectés des coefficients a1, a2, …, an respectivement.

On s’intéresse à la fonction f définie par : M .

 

Remarque : lorsque la somme des coefficients est nulle, la fonction f est une fonction constante. [Il suffit, pour s’en convaincre, d’introduire un point N dans la relation vectorielle et constater que f(M) = f(N)].

 

Exercice 5 : Vérifier que le vecteur  ne dépend pas du point M choisi.

 

Si la somme des coefficients est non nulle, la fonction f est bijective. L’unique antécédent du vecteur nul s’appelle le barycentre du système de points pondérés {(Ai, ai) ; i = 1, …, n}.

 

Autrement dit, le barycentre G du système de points pondérés {(Ai, ai) ; i = 1, …, n} avec  est défini par la relation vectorielle : .

 

Application : formule de réduction

Pour tout point M, f(M) = .

 

Exercice 6 :Déterminer l’ensemble des points M du plan tel que  et  soient colinéaires.

 

Exercice 7 : Déterminer l’ensemble des points M du plan tel que  et soient orthogonaux.

 

Barycentre et multiplication par un réel non nul : le barycentre n’est pas modifié lorsqu’on multiplie tous les coefficients par un réel non nul. Pour la formule de réduction, on pourra donc s’arranger afin que la somme des coefficients fasse 1.

 

Barycentre et ordre des points : l’addition vectorielle étant commutative, le barycentre ne dépend pas de l’ordre des points de la famille.

 

Barycentre et associativité : on peut remplacer certains points de la famille de points par un barycentre partiel (sous réserve d’existence) affecté de la somme des coefficients des points qu’il remplace.

 

Exercice 8 : Vérifier que le barycentre du système {A(a) , B(b) , C(c)} avec a, b et c de même signe est à l’intérieur du triangle ABC.

 

Exercice 9 : Montrer que les droites joignant les milieux des arêtes opposées d’un tétraèdre sont concourantes.

 

Isobarycentre ou centre de gravité : le point G est l’isobarycentre des points A1, A2, …, An si G est le barycentre du système de points pondérés {(Ai, k) ; i = 1, …, n}. Dans la pratique, on prend k = 1 ou k = 1/n.

 

Exemples :  l’isobarycentre de deux points est le milieu des points.

l’isobarycentre de trois points est le point de concours des médianes.

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